Группы

Теория групп — раздел абстрактной алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства.
Регулярный элемент - такой элемент а, если
х , у ∈ G равенства а Т х = а Т у и х Т а = у Т а
влекут х = у.
Симметричные элементы. Пусть Т есть бинарная операция на G, обладающая нейтральным элементом е. Говорят, что элемент ā ∈ G симметричен элементу a ∈ G, если ā Т а = е. В этом случае элемент а называется симметризуемым. Симметричный элемент ā называют также обратным или противоположным.
Таблицы. Конечный группоид удобно задавать таблицей. Каждому столбцу и каждой строке таблицы соответствует элемент множества G. Первый элемент пары берется из соответствующего столбца, второй - из соответствующей строки, на пересечении получаем композицию этих элементов. Например, E = {a, b, c}.
Зададим операцию Т таблицей:

Т	a	b	c
a	c	a	b
b	c	c	b
c	a	b	c

Определение.Множество G с бинарной операцией
называется группой, если:
1) эта операция ассоциативна, т.е.
для любых ;
2) существует нейтральный элемент (ноль или единица), т.е. такой элемент , что для любого ;
3) для любого элемента существует такой элемент , что .
Определение. Группа называется абелевой, если для любых двух элементов справедливо равенство

Замечание. 1) Элемент из пункта называется обратным или противоположным к элементу и обозначается .
2) Легко проверяется единственность , обратного элемента и ассоциативность умножения любого числа множителей.
Для любого элемента определяется его степень , полагая



Верны равенства: , .
Уравнение вида , где , всегда имеет единственное решение .
Уравнение вида , где , всегда имеет единственное решение .
Замечание. Группа с операцией часто называется мультипликативной, а сама операция опускается, т.е. .
Определение. Аддитивная группа -- эта группа с операцией , нейтральный элемент обозначается 0 , а противоположный через .
Определение. Полугруппой относительно операции Т называется группоид относительно Т, если операция Т ассоциативна.
Определение. Подмножество группы называется подгруппой, если
1)множество содержит единицу ;
2) из условия следует, что ;
3) из условий следует, что .
Определение. Пусть и -- две группы с операциями и соответственно. Отображение называется гомоморфизмом, если для любых элементов . Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом.
Замечание. Если является изоморфизмом, то тоже.
Свойства гомоморфизма.
Единица группы при гомоморфизме переходит в единицу группы , т.е. .
Образ обратного элемента группы при гомоморфизме является обратным к образу, т.е. .
Образ гомоморфизма является подгруппой в . Докажем это утверждение, т.е. проверим выполнение условий из определения подгруппы.
Образ содержит единицу .
Если , то .
Если , то . Таким образом, все условия выполнены, и действительно подгруппа .
Теорема [Теорема Кэли.] Всякая группа порядка изоморфна некоторой подгруппе группы подстановок .

---

---

Используемые источники:
http://www.math4you.ru
http://ru.wikipedia.org
Турецкий В.Я. Математика и информатика.

---

Полезные ресурсы:
Сайт о науке http://elementy.ru/lib/430153
Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями http://www.pm298.ru/group2.php